Аннуитетные платежи

С помощью калькулятора производится расчет аннуитетных платежей по схеме постнумерандо и пренумерандо. Имеется возможность вычислить вечную и отложенную ренты.
Поток платежей характеризуется следующими параметрами: размер отдельного платежа, R; срок ренты, n; процентная ставка, i; число p платежей (взносов) в году; частота m начисления процентов.
Если выплаты ежегодные, то такой поток платежей называются аннуитетом, если платежи производятся несколько раз в году - рентой.
Требуется найти Вид ренты
Платежи, R
Срок, лет Период взноса, p
Процентная ставка % Период наращения, m

Здесь будет показано решение
Поток платежейНаращенная сумма, SСовременная величина, A(приведенная стоимость)ПостнумерандоПренумерандоВечная рентаОтложеннаярента

Алгоритм решения задач

  1. Определить, что требуется найти: наращенную сумму или современную (приведенную) стоимость.
  2. Если необходимо найти наращенную сумму (будущую стоимость аннуитета), то определяем временной фактор поступления платежей: в начале (пренумерандо) или в конце периода (постнумерандо).

Схема постнумерандо

Рента обычная или постнумерандо: платежи производятся в конце периода.
Современная стоимость потока платежей А - это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока.
Количество платежейКоличество начисленийSA
p=1 m=1 R·(1+j)n1j R·1(1+j)nj
m>1 R·(1+jm)m·n1(1+jm)m1 R·1(1+jm)m·n(1+jm)m1
p>1 m=1 Rp·(1+j)n1(1+j)1p1 Rp·1(1+j)n(1+j)1p1
m=p R·(1+jm)m·n1j R·1(1+jm)m·nj
m≠p Rp·(1+jm)m·n1(1+jm)mp1 Rp·1(1+jm)m·n(1+jm)mp1

Примеры задач по схеме постнумерандо

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.
  1. Определить современную стоимость и наращенную сумму аннуитета постнумерандо. Срок ренты n пять лет, разовый платеж R = 4000 руб. вносится ежегодно. На поступившие взносы начисляются проценты по сложной ставке j = 8% годовых.
    Решить аналогичную
    Платежи поступают в начале года (схема пренумерандо), периодичность взноса ренты p =1, проценты начсляются раз в год, m = 1.
    Будущая (наращенная) стоимость ренты: S=R·(1+j)n1j
    S=4 000·(1+0,08)510,08 = 23 466,40 руб.
    Современная стоимость аннуитета: A=R·1(1+j)nj
    A=4 000·1(1+0,08)50,08 = 15 970,84 руб.
  2. Фирма предполагает создать специальный фонд в размере 200 тыс.руб., для чего будет вносить в банк 50 тыс.руб. под 15% годовых. Определить срок, необходимый для создания фонда.
    Решить аналогичную
    Найдем срок аннуитета: n=ln(SR·i+1)ln(1+i)
    n=ln(20050·0,15+1)ln(1+0,15) = 3,363 года

Схема пренумерандо

Рента пренумерандо: платежи производятся в начале периода.
Сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (l+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:
Spre = S·(1+i)
где S - наращенная сумма ренты постнумерандо.

Современные величины рент пренумерандо рассчитываются аналогично, т.е.:
Apre = A·(1+i)
Если проценты начисляются по номинальной процентной ставке j, а выплаты производятся р раз в году, современная и наращённая стоимость ренты пренумерандо будет равна:
Apre=A·(1+jm)mp
Spre=S·(1+jm)mp
Если платежи ренты производятся в середине периода:
Apre=A·(1+jm)m2p
Spre=S·(1+jm)m2p

Примеры задач по схеме пренумерандо

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.

Вечная рента (бессрочный аннуитет)

A=Rj
Для общего случая ренты, когда число рентных платежей р>1, современная стоимость: A=Rp·1(1+jm)mp1

Примеры задач по схеме вечной ренты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.
  1. Определить текущую (современную) стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением R = 400 руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен j = 10% годовых.
    Решить аналогичную
    Текущая стоимость аннуитета составит: A = R/j = 400/0,1 = 4000 руб.
  2. Принято решение о выкупе облигаций государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию выплачивались доходы в размере R = 20 руб. дважды в год в конце каждого полугодия, а доходность облигации составляла j = 5% годовых. Определить сумму,подлежащую выплате на каждую облигацию.
    Решить аналогичную
    Сумма, подлежащая выплате, равна современной стоимости бессрочного займа: A=402·1(1+0,05)121 = 809,88 руб.

Отложенная рента

Современная величина отложенной ренты определяется по формуле:
At=A·1(1+i)t
где А — современная величина немедленной ренты.

Примеры задач по схеме отложенной рента

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.
  1. Строительной фирмой заключен контракт на строительство здания. Согласно контракту заказчик через два года после окончания строительства производит оплату в течение трех лет равными годовыми платежами, производимыми в конце года, в размере 25 тыс.руб. каждый. Процентная ставка установлена в 10% годовых; проценты начисляются в конце года. Определить выигрыш заказчика, полученный в результате отсрочки платежа на два года.
    Решить аналогичную
    Современная стоимость немедленной ренты: R·1(1+j)nj
    A = 25·1(1+0,1)30,1 = 62,171 тыс.руб.
    Современная стоимость отложенной ренты: At=A·1(1+i)t
    A2=62,171·1(1+0,1)2 = 51,381 тыс.руб.

Список источников

  • Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
  • Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. - 5-е перераб. и доп. - М.: КНОРУС, 2010. - 144 с.
 Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск