Простые и сложные проценты

С помощью калькулятора вычисляются параметры финансовых операций по простой и сложной банковской ставке (см. также вычисления при учетной ставке).
Требуется найти Вид операции
Исходная сумма ед.изм

Срок финансовой сделки

Выберите, либо даты действия по договору, либо число дней.
Начальная дата Конечная дата
Количество

Проценты

Проценты % Вид начислений Период наращения

Схема начислений

точные 365/365
обыкновенные 365/360
приближённые 360/360
?

Здесь будет показано решение
Существуют два способа начисления процентов: декурсивный и антисипативный. При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. При антисипатиеном (предварительном) способе проценты начисляются в начале каждого интервала (процентная ставка называется учётной).

Простые проценты

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:
  • точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Обозначается как 365/365 или АТС/АТС.
  • обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Обозначается как 365/360 или АТС/360.
  • обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Обозначается как 360/360.
    По схеме 360 количество дней к году принимается равным 360 (в каждом месяце по 30 дней).
    Пример. Определить приближённое число дней между 12.02.2019 и 27.08.2020.
    Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближённое число дней рассчитывается следующим образом:
    n = 360*(y2-y1)+30*(m2-m1)+(d2-d1)
    где y - номер года, m - номер месяца в году, d - номер дня в месяце.
    n = 360*(2020-2019)+30*(8-2)+(27-12) = 555 дней
Наращение основной суммы: S = P(1+i*n)
где P - исходная сумма, i - проценты, n - количество лет.

Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет: S=P·(1+tT·i)
где t - срок в днях, T - временная база (365 или 360)

Примеры задач на простые проценты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.
  1. Ссуда в размере P = 1 млн.руб. выдана d1 = 20.01 до d2 = 05.10 включительно под i = 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчёта срока ссуды.
    Решить аналогичную
    Начальная дата: 20.01, конечная дата: 05.10, количество дней между датами: 258
    Январь, 11 дней: с 21.01 по 31.01
    Февраль, 28 дней: с 01.02 по 28.02
    Март, 31 день: с 01.03 по 31.03
    Апрель, 30 дней: с 01.04 по 30.04
    Май, 31 день: с 01.05 по 31.05
    Июнь, 30 дней: с 01.06 по 30.06
    Июль, 31 день: с 01.07 по 31.07
    Август, 31 день: с 01.08 по 31.08
    Сентябрь, 30 дней: с 01.09 по 30.09
    Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
    Итого: 11 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 5 = 258
    S=P·(1+tT·i)
    1) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
    S=1 000 000·(1+258365·0.18)=1 127 232.88 руб.
    2) Обыкновенные проценты с точным числом дней (365/360)
    S=1 000 000·(1+258360·0.18)=1 129 000 руб.
    3) Обыкновенные проценты с приближённым числом дней (360/360)
    Количество дней между датами: 255
    Январь, 10 дней: с 21.01 по 30.01
    Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь по 30 дней
    Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
    Итого: 10 + 30*8 + 5 = 255
    S=1 000 000·(1+255360·0.18)=1 127 500 руб.
  2. Через d = 180 дней после подписания договора должник уплатит S = 310 тыс.руб. Кредит выдан под i = 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
    Решить аналогичную
    P=S(1+tT·i)
    Находим современную стоимость P=310 000(1+180365·0.16) = 287 328.59 руб.

Сложные проценты

Выберите необходимый вид задачи (кнопка Решить) и заполните требуемые поля.
Сложная процентная ставка наращения - это ставка, при которой база начисления является переменной, то есть проценты начисляются на проценты. Формула наращения для сложных процентов имеет вид:
S=P·(1+i)n
Если в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период, то наращенная сумма определяется по формуле:
S=P·(1+im)m·n
Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти смешанным методом:
S = P·(1+i)[n]·(1+{n}·i)
где [n] - целая часть числал; {n} - дробная часть числа n.

Современная стоимость Р величины S находится в случае сложной процентной ставки по формуле:
P=S(1+i)n

Примеры задач на сложные проценты

  1. Какой величины достигнет долг, равный P = 1 млн.руб., через n = 5 лет при росте по сложной ставке i = 15,5% годовых, если проценты начисляются раз в год, ежемесячно, поквартально и два раза в год?
    Решить аналогичную
    1) Сложные проценты начисляются раз в год: S = 1 000 000·(1+0.155)5 = 2 055 464,22 руб
    2) Сложные проценты начисляются два раза в год:
    S=1 000 000·(1+0,1552)2·5 = 2 109 467,26 руб.
    3) Сложные проценты начисляются 4 раза в год (поквартально):
    S=1 000 000·(1+0,1554)4·5 = 2 139 049,01 руб.
    4) Сложные проценты начисляются ежемесячно (12 раз в год):
    S=1 000 000·(1+0,15512)12·5 = 2 159 847,20 руб.
  2. Через n = 5 лет предприятию будет выплачена сумма S = 1 млн.руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов i = 10% годовых.
    Решить аналогичную
    P=S(1+i)n
    P=1 000 000(1+0,1)5 = 620 921,32 руб.
    Если проценты начислялись ежеквартально.
    P=S(1+im)m·n
    P=1 000 000(1+0,14)4·5 = 610 270,94 руб.
  3. Определить современную стоимость S = 20 тыс.руб., которые должны быть выплачены через четыре года (n = 4). В течение этого периода на первоначальную сумму начислялись сложные проценты по i = 8 %годовых: а)ежегодно; б)ежеквартально.
    Решить аналогичную
    P=S(1+i)n
    P=20 000(1+0,08)4 = 14 568,92 руб.
    Если проценты начислялись ежеквартально.
    P=S(1+im)m·n
    P=20 000(1+0,084)4·4 = 14 570 руб.

Список источников

  • Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
  • Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. - 5-е перераб. и доп. - М.: КНОРУС, 2010. - 144 с.
 Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск