Диаграммы Эйлера-Венна

Диаграмма Эйлера-Венна - наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств.
Чтобы нарисовать диаграммы по формуле, используйте данный сервис. Если требуется создать круги с различным оформлением, используйте этот калькулятор.
(...) - задание скобок; A - отрицание, инверсия, дополнение (NOT); - дизъюнкция, объединение (OR); - конъюнкция, пересечение (AND); = - эквивалентность (тождество) (↔); - импликация (следование); \ - относительное дополнение (разность); - симметрическая разность.
Для вложенного отрицания необходимо использовать знак !. Например, A ∪ B = !(A ∪ B) или A ∪ B = A ∪ !B
Чтобы доказать равенство, например, (A\B)\C∩B = (A\C)\(B\C), необходимо отдельно ввести (A\B)\C∩B и (A\C)\(B\C), а затем сравнить их результаты.

Введеное выражение также можно упростить, используя законы логики высказываний (на следующем шаге выбрать параметр Упростить выражение).
Выводить в отчет:

Выводить таблицу истинности

Упростить выражение через равносильные преобразования

Здесь будет показано решение

Множества изображаются в виде кругов или эллипсов, помещенных в прямоугольник (универсум).

Универсальное множество (универсум) U - множество, содержащее все элементы рассматриваемых подмножеств и элементы, не входящие в них.
Пустое множество Ø - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемых подмножеств.
Количество пересечений (областей) n определяется по формуле: n=2N,
где N - количество множеств.

Рисование кругов Эйлера

С помощью этого инструмента можно будет вручную создавать круги Венна с индивидуальным оформлением. Чтобы заштриховать требуемую область, нажмите на кнопку Заштриховать область, а затем выберите номер области. Для снятия штриховки, повторно нажмите на этот же номер.
Количество переменных (кругов)
Оформление кругов
Цвет линии Цвет штриховки Использовать сетку

ABC

Алгоритм построения диаграмм Эйлера-Венна

  1. Определяют количество подмножеств (А, В, С, D).
  2. На диаграмме строят пересекающиеся множества, включенных в универсум.
  3. Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений.

Диаграммы Эйлера-Венна для одного множества А

A={}=Ø A (0)(1) A
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=21 = 2 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3}, А={2,4}
A = {0,1,3}, A ∩ A = {2,4}∩{0,1,3} = {} = Ø

Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В

AB (0)(1)(2)(3) AB
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=22 = 4 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3,4,5}, А={0,3,4}, В={3,4,5}
A∪B = {0,3,4} ∪ {3,4,5} = {0,3,4,5}

Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С

ABC ABC (0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=23 = 8 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3,4,5}, А={2}, В={3,4,5}, C={3,4}
B\C ∪ A = {3,4,5}\{3,4} ∪ {2} = {5} ∪ {2} = {2,5}

Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D

ABCD (0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15) ABCD
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=24 = 16 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3,4,5}
А={1,2,3,4}
В={3}
C={4}
D={0}

Логические операции

Для описания логических операций можно использовать круги Эйлера и таблицы истинности.
Логическая операцияОбозначениеДиаграмма Эйлера-Венна
инверсия (отрицание, логическое не, дополнение)!, ¬!A
конъюнкция (логическое и) AND, &, ∩, ∧ABA∩B
дизъюнкция (логическое или)OR, ∪ +, ∨ABA∪B
импликация (следование)
A→B = A∪B
ABA→B
эквивалентность (тождество)
A↔B = (A∩B)∪(AB)
=, ↔ABA↔B
относительное дополнение (разность)
A\B = A∩B
- , \ABA\B
симметрическая разность
A△B = A∩B ∪ A∩B
△, XOR ABA△B

Список литературы

  1. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.,1992.
  2. Бауэр Ф.Л., Гооз Г. Информатика. Вводный курс: Часть 2, М.: Мир, 1990.
  3. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш. школа, 1986. – 312 с.
Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск