Диаграммы Эйлера-Венна
Диаграмма Эйлера-Венна - наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств.Чтобы нарисовать диаграммы по формуле, используйте данный сервис. Если требуется создать круги с различным оформлением, используйте этот калькулятор.
(...) - задание скобок; A - отрицание, инверсия, дополнение (NOT); ∪ - дизъюнкция, объединение (OR); ∩ - конъюнкция, пересечение (AND); = - эквивалентность (тождество) (↔); → - импликация (следование); \ - относительное дополнение (разность); △ - симметрическая разность.
Для вложенного отрицания необходимо использовать знак !. Например, A ∪ B = !(A ∪ B) или A ∪ B = A ∪ !B
Чтобы доказать равенство, например,
Введеное выражение также можно упростить, используя законы логики высказываний (на следующем шаге выбрать параметр
Чтобы доказать равенство, например,
(A\B)\C∩B = (A\C)\(B\C), необходимо отдельно ввести (A\B)\C∩B и (A\C)\(B\C), а затем сравнить их результаты.
Введеное выражение также можно упростить, используя законы логики высказываний (на следующем шаге выбрать параметр
Упростить выражение).
Здесь будет показано решение
Множества изображаются в виде кругов или эллипсов, помещенных в прямоугольник (универсум).
Универсальное множество (универсум) U - множество, содержащее все элементы рассматриваемых подмножеств и элементы, не входящие в них.Пустое множество Ø - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемых подмножеств.
Количество пересечений (областей) n определяется по формуле:
n=2N,
где N - количество множеств.
Рисование кругов Эйлера
С помощью этого инструмента можно будет вручную создавать круги Венна с индивидуальным оформлением. Чтобы заштриховать требуемую область, нажмите на кнопку Заштриховать область, а затем выберите номер области. Для снятия штриховки, повторно нажмите на этот же номер.
Количество переменных (кругов)
Оформление кругов
Цвет линии
Цвет штриховки
Использовать сетку
Алгоритм построения диаграмм Эйлера-Венна
- Определяют количество подмножеств (А, В, С, D).
- На диаграмме строят пересекающиеся множества, включенных в универсум.
- Выделяют области, количество которых равно количеству пересечений.
Диаграммы Эйлера-Венна для одного множества А
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=21 = 2 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3}, А={2,4}
A = {0,1,3}, A ∩ A = {2,4}∩{0,1,3} = {} = Ø
Диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств А и В
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=22 = 4 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3,4,5}, А={0,3,4}, В={3,4,5}
A∪B = {0,3,4} ∪ {3,4,5} = {0,3,4,5}
Диаграммы Эйлера-Венна для трех множеств А, В, С
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=23 = 8 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3,4,5}, А={2}, В={3,4,5}, C={3,4}
B\C ∪ A = {3,4,5}\{3,4} ∪ {2} = {5} ∪ {2} = {2,5}
Диаграммы Эйлера-Венна для четырех множеств А, В, С, D
На последнем рисунке приведены соответствующие области таблицы истинности, которая состоит из n=24 = 16 строк (областей)
Примеры
Универсум U={0,1,2,3,4,5}
А={1,2,3,4}
В={3}
C={4}
D={0}
Логические операции
Для описания логических операций можно использовать круги Эйлера и таблицы истинности.| Логическая операция | Обозначение | Диаграмма Эйлера-Венна |
инверсия (отрицание, логическое не, дополнение) | !, ¬ | |
конъюнкция (логическое и) | AND, &, ∩, ∧ | |
дизъюнкция (логическое или) | OR, ∪ +, ∨ | |
| импликация (следование) A→B = A∪B | → | |
| эквивалентность (тождество) A↔B = (A∩B)∪(A∩B) | =, ↔ | |
| относительное дополнение (разность) A\B = A∩B | - , \ | |
| симметрическая разность A△B = A∩B ∪ A∩B | △, XOR |
Список литературы
- Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М.,1992.
- Бауэр Ф.Л., Гооз Г. Информатика. Вводный курс: Часть 2, М.: Мир, 1990.
- Горбатов В.А. Основы дискретной математики. – М.: Высш. школа, 1986. – 312 с.